OEF Définition d'espaces vectoriels --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur la définition d'un espace vectoriel. Différentes structures sont proposées ; à vous de déterminer s'il s'agit réellement d'un espace vectoriel.

Voir aussi les collections d'exercices les espaces vectoriels en général ou la définition de sous-espace vectoriel.


Cercles

Soit l'ensemble de cercles dans le plan (cartésien), avec des règles d'addition et de multiplication par scalaire comme suit. L'ensemble S avec l'addition et la multiplication par scalaire définies ci-dessus est-il un espace vectoriel sur le corps de nombres réels ?

Espace d'applications

Soit l'ensemble d'applications
,
(i.e., de l'ensemble des à l'ensemble des ) avec les règles de l'addition et la multiplication par scalaire comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur RR ?

Valeur absolue

Soit l'ensemble de couples (x,y) de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur RR> ?

Droite affine

Soit une droite dans le plan cartésien, définie par une équation , et soit un point fixe sur .

Nous prenons l'ensemble de points sur . Sur , nous définissions l'addition et la multiplication par scalaire comme suit.

L'ensemble muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur RR ?

Addition alternée

Soit l'ensemble de couples (x,y) de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur RR ?

Corps

L'ensemble des , muni de l'addition et la multiplication habituelle, est-il un espace vectoriel sur le corps des  ?

Matrices

Soit l'ensemble des matrices réelles . Sur , on définit la multiplication par un scalaire comme suit.

Si est une matrice dans et si est un nombre réel, la multiplication de par le scalaire est définie comme étant la matrice , où .

L'ensemble muni de l'addition habituelle des matrices et de cette multiplication scalaire est-il un espace vectoriel sur ?


Matrices II

L'ensemble des matrices à coefficients et de taille , muni de l'addition et la multiplication habituelles, est-il un espace vectoriel sur le corps des  ?

Multiplier/diviser

Soit l'ensemble de couples (x,y) de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur RR ?

Nombres non nuls

Soit l'ensemble de nombres réels . On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur comme suit : Est-ce que muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur RR ?

Transaffine

Soit l'ensemble de couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur RR ?

Transcarré

Soit l'ensemble de couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit : L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur RR> ?

Cercle de l'unité

Soit l'ensemble de points sur le cercle d'équation dans le plan cartésien. Pour tout point (x,y) dans , il y a un nombre réel tel que , .

On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur comme suit :

Est-ce que muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur RR ?

D'autres exercices sur : espaces vectoriels   algèbre linéaire  

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